Trabajo mecánico

Como ya vimos sobre un cuerpo se puede aplicar una fuerza. Y como resultado de ello, el cuerpo quizás se desplaza una cierta distancia.
El trabajo mecánico se define como el producto de la fuerza aplicada sobre un cuerpo por la distancia que recorre el mismo.

FIGURA 2-10 La persona empuja la mesa aplicando una fuerza F, logrando desplazarla una distancia d.

La fórmula que te permite calcular el trabajo mecánico efectuado al desplazar un cuerpo es:

Donde:
W = trabajo mecánico medido en Joules J.
F = fuerza medida en N.
d = distancia medida en m.
Algo importante a tener en cuenta es que el trabajo mecánico puede ser:

positivo,
nulo,
negativo.

TRABAJO MECÁNICO

Cuando sobre un sistema mecánico se aplica una fuerza neta y esta produce desplazamiento, entonces se dice que esa fuerza efectua un trabajo mecánico, el cual puede ser positivo si el sistema gana energía o negativo si el sistema pierde energía.

En el S.I se mide en Joule y comunmente se usa otra unidad llamada caloría, para referirse al trabajo mecánico.

1 Joule = 1 Newton · 1 metro = kg m²/s²

4,18 Joule = 1 Cal

Como se puede observar, cuando la fuerza no va paralela al desplazamiento, sólo realiza trabajo mecánico la componente de esa fuerza que está en dirección del vector desplazamiento, por ello en la ecuación a parece la función coseno, aplicada sobre el ángulo entre ellos. Específicamente, el trabajo es el producto punto entre la fuerza y el desplazamiento.

IMPORTANCIA DEL ÁNGULO EN EL TRABAJO

Como hemos visto, en la ecuación de trabajo, el último término es una función conseno aplicada a un ángulo. Este ángulo nos permitirá saber cuando el trabajo es negativo, cuando es positivo y cuando es nulo.

En el primer caso cuando el trabajo es positivo, la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo que va desde los 0° hasta los 89°, siendo máximo cuando la fuerza y el desplazamiento van en la misma dirección y sentido ( ángulo entre ellos 0, cos 0° =1)

En el segundo caso cuando el trabajo es negativo, la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo mayor a 91° hasta los 180°, siendo máximo, pero de forma negativa cuando el ángulo es 180, pues cos 180° = -1

En el tercer caso cuando el trabajo es nulo, la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 90°, por lo que el cos 90° = 0, demostrando que el trabajo es cero.

La niña de la imagen aplica sobre la carretilla una fuerzaF,constante, que mantiene un ángulo θ = 60º con respecto a la horizontal. Fy y Fx son las componentes rectangulares deF. De acuerdo al planteamiento del trabajo, sólo la componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento realiza trabajo sobre la carretilla.

Por lo general no hay sólo una fuerza aplicada sobre un sistema mecánico, para ello se calcula el trabajo hecho por cada fuerza y se suma de manera de obtener el trabajo neto.

W_neto= W_P+W_N+W_FR+W_F

POTENCIA DEL TRABAJO

La potencia se puede entender como la rapidez con la que se efectúa trabajo y se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. La potencia mecánica se simboliza con la letra P

P = W/Δt

También la potencia la podemos expresar en término de la velocidad, para cuando la fuerza es constante

P =F v

Las unidades para la potencia en el S.I son el Watts, el cual se define como Joule/s, de esta manera las equivalencias de otras unidades con el Watts son:

1 kW= 1000 W

1 Hp=746 W

Energía cinética en diferentes sistemas de referencia[editar]

Como hemos dicho, en la mecánica clásica, la energía cinética de una masa puntual depende de su masa

m

y sus componentes del movimiento. Se expresa en julios (J). 1 J = 1 kg·m²/s². Estos son descritos por la velocidad

v

de la masa puntual, así:

E_c = \frac{1}{2} m v^2.

En un sistema de coordenadas especial, esta expresión tiene las siguientes formas:

Coordenadas cartesianas (x, y, z):

E_c={1 \over 2} m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)

Coordenadas polares ( $r, \phi$ ):

E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)

Coordenadas cilíndricas ( $r, \phi, z$ ):

E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)

Coordenadas esféricas ( $r, \phi, \theta$ ):

E_c=\frac{1}{2}m \left(r^2 \left[\dot \theta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\theta \right] + \dot r^2 \right)

Con eso el significado de un punto en una coordenada y su cambio temporal se describe como la derivada temporal de su desplazamiento:

\dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)

En un formalismo hamiltoniano no se trabaja con esas componentes del movimiento, o sea con su velocidad, sino con su impulso

p

(cambio en la cantidad de movimiento). En caso de usar componentes cartesianas obtenemos:

E_c = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}

Energía cinética de sistemas de partículas[editar]

Para una partícula, o para un sólido rígido que no este rotando, la energía cinética cae a cero cuando el cuerpo para. Sin embargo, para sistemas que contienen muchos cuerpos con movimientos independientes, que ejercen fuerzas entre ellos y que pueden (o no) estar rotando, esto no es del todo cierto. Esta energía es llamada 'energía interna'. La energía cinética de un sistema en cualquier instante de tiempo es la suma simple de las energías cinéticas de las masas, incluyendo la energía cinética de la rotación.

Un ejemplo de esto puede ser el Sistema Solar. En el centro de masas del sistema solar, el Sol está (casi) estacionario, pero los planetas y planetoides están en movimiento sobre él. Así en un centro de masas estacionario, la energía cinética está aún presente. Sin embargo, recalcular la energía de diferentes marcos puede ser tedioso, pero hay un truco. La energía cinética de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energía en un marco con centro de masas y añadir en la energía el total de las masas de los cuerpos que se mueven con velocidad relativa entre los dos marcos.

Esto se puede demostrar fácilmente: sea V la velocidad relativa en un sistema k de un centro de masas i:

$E_c = \int \frac{\mathbf{v}^2}{2}dm = \int \frac{(\bar{\mathbf{v}}+\mathbf{V})^2}{2}dm = \underbrace{\int \frac{\bar{\mathbf{v}}^2}{2}dm}_{E_{c,int}} + \underbrace{\mathbf{V}\int \bar{\mathbf{v}} dm}_{\mathbf{V}\cdot\mathbf{P} = 0} + \underbrace{\frac{V^2}{2} \int dm}_{E_{c,CM}}$

Donde:

E_{c,int}\,

, es la energía cinética interna respecto al centro de masas de ese sistema

\mathbf{P}

es el momento respecto al centro de masas, que resulta ser cero por la definición de centro de masas.

M\,

, es la masa total.

Por lo que la expresión anterior puede escribirse simplemente como:¹

$E_c = \overbrace{E_{c,int}}^{E_{rot}} + M \frac{V^2}{2} = E_{rot} + E_{tras}$

Donde puede verse más claramente que energía cinética total de un sistema puede descomponerse en su energía cinética de traslación y la energía de rotación alrededor del centro de masas. La energía cinética de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es más bajo con respecto al centro de masas referencial, por ejemplo, en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masas.

Energía cinética de un sólido rígido en rotación[editar]

Para un sólido rígido que está rotando puede descomponerse la energía cinética total como dos sumas: la energía cinética de traslación (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a través del espacio) y la energía cinética de rotación (que es la asociada al movimiento de rotación con cierta velocidad angular). La expresión matemática para la energía cinética es:

$E_c = E_{tra} + E_{rot} =\frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega}^{t} \cdot (\mathbf{I} \vec{\omega})$

Donde:

E_{tra}\;

Energía de traslación.

E_{rot}\;

Energía de rotación.

m \,

Masa del cuerpo.

\mathbf{I}

tensor de (momentos de) inercia.

\vec{\omega} =

velocidad angular del cuerpo.

\vec{\omega}^{t} =

traspuesta del vector de la velocidad angular del cuerpo.

\vec{v} =

velocidad lineal del cuerpo.

El valor de la energía cinética es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (módulo) de la velocidad

\vec{v}

\vec{\omega}

. La expresión anterior puede deducirse de la expresión general:

$E_c = \int_M \frac{\| \vec{v} \|^2}{2} dm$

Energía cinética en mecánica relativista[editar]

Energía cinética de una partícula[editar]

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mecánica relativista para poder calcular la energía cinética. En relatividad especial, debemos cambiar la expresión para el momento lineal y de ella por interacción se puede deducir la expresión de la energía cinética:

$E_c = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2$

Tomando la expresión relativista anterior, desarrollándola en serie de Taylor y tomando únicamente el término

(1/2)m(v^2/c^2)

se recupera la expresión de la energía cinética típica de la mecánica newtoniana:²

$E_c = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2= mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2$

Se toma únicamente el primer término de la serie de Taylor ya que, conforme la serie progresa, los términos se vuelven cada vez más y más pequeños y es posible despreciarlos.

La ecuación relativista muestra que la energía de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matemático es la fórmula de equivalencia entre masa y energía, cuando el cuerpo está en reposo obtenemos esta ecuación:

$E_0 = m c^2 \!$

Así, la energía total E puede particionarse entre las energías de las masas en reposo más la tradicional energía cinética newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho más bajas que la luz (ej. cualquier fenómeno en la tierra) los primeros dos términos de la serie predominan.

La relación entre energía cinética y momentum es más complicada en este caso y viene dada por la ecuación:

$E_c = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2$

Esto también puede expandirse como una serie de Taylor, el primer término de esta simple expresión viene de la mecánica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales ni axiomáticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energía y de los principios de la relatividad.

Energía cinética de un sólido en rotación[editar]

A diferencia del caso clásico la energía cinética de rotación en mecánica relativista no puede ser representada simplemente por un tensor de inercia y una expresión cuadrática a partir de él en el que intervenga lavelocidad angular. El caso simple de una esfera en rotación ilustra este punto; si suponemos una esfera de un material suficientemente rígido para que podamos despreciar las deformaciones por culpa de la rotación (y por tanto los cambios de densidad) y tal que su velocidad angular satisfaga la condición

\scriptstyle \omega R < c

se puede calcular la energía cinética

\scriptstyle E_c

a partir de la siguiente integral:

$E_c + m_0c^2 = \int_S \frac{c^2 dm}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 2\pi \int_{r=0}^{r=R} \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \frac{\rho c^2}{\sqrt{1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}}} r^2\sin \theta drd\theta$

Integrando la expresión anterior se obtiene la expresión:

$E_c = \frac{3}{2}m_0c^2 \left(\frac{c}{R\omega}\right)^2 \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{R\omega}{c}-\frac{c}{R\omega}\right) \ln \left(\frac{c+R\omega}{c-R\omega} \right) \right] - m_0c^2$

Comparación entre la expresión para la energía cinética de una esfera de acuerdo con la mecánica clásica y la mecánica relativista (aquí R es el radio, ω la velocidad angular y m₀ la masa en reposo de la esfera.

Para una esfera en rotación los puntos sobre el eje no tienen velocidad de traslación mientras que los puntos más alejados del eje de giro tienen una velocidad

\scriptstyle \omega R

, a medida que esta velocidad se aproxima a la velocidad de la luz la energía cinética de la esfera tiende a crecer sin límite. Esto contrasta con la expresión clásica que se da a continuación:

$E_c = \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m_0R^2\right) \omega^2$

Paradójicamente, dentro de la teoría especial de la relatividad, el supuesto de que es posible construir un sistema rotar progresivamente más rápido un esfera sobre su eje, lleva a que los puntos más alejados del eje de giro alcancen la velocidad de la luz aplicando al cuerpo una cantidad finita de energía

(E_c = mR^2\omega^2/2)

. Lo cual revela que el supuesto no puede ser correcto cuando algunos puntos de la periferia del sólido están moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz.

Energía cinética en mecánica cuántica[editar]

En la mecánica cuántica, el valor que se espera de energía cinética de un electrón,

\langle\hat{T}\rangle

, para un sistema de electrones describe una función de onda

\vert\psi\rangle

que es la suma de un electrón, el operador se espera que alcance el valor de:

$\langle\hat{T}\rangle = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\bigg\langle\psi \bigg\vert \sum_{i=1}^N \nabla^2_i \bigg\vert \psi \bigg\rangle$

donde

m_e

es la masa de un electrón y

\nabla^2_i

es el operador laplaciano que actúa en las coordenadas del electrón i^ésimo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versión cuantizada de una expresión no relativista de energía cinética en términos de momento:

$E_c = \frac{p^2}{2m}$

El formalismo de la funcional de densidad en mecánica cuántica requiere un conocimiento sobre la densidad electrónica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la función de onda.

Dado una densidad electrónica

\rho(\mathbf{r})

, la funcional exacta de la energía cinética del n-ésimo electrón es incierta; sin embargo, en un caso específico de un sistema de un electrón, la energía cinética puede escribirse así:

$T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r$

donde

T[\rho]

es conocida como la funcional de la energía cinética de Von Weizsacker.

Energía cinética de partículas en la mecánica cuántica[editar]

En la teoría cuántica una magnitud física como la energía cinética debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso decuantización, el cual conduce para una partícula moviéndose por el espacio euclidiano tridimensional a una representación natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert

L^2(\R)

dado por:

$\hat{E}_c = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)$

que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C², define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores físicamente medibles de la energía cinética.

Energía cinética del sólido rígido en la mecánica cuántica[editar]

Un sólido rígido a pesar de estar formado por un número infinito de partículas, es un sistema mecánico con un número finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cuántico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita de tipo L² sobre un espacio de configuración de inútiles dimensión finita. En este caso el espacio de configuración de un sólido rígido es precisamente el grupo de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energía cinética de rotación pueden representarse por:

$\mathcal{H} = L^2(SO(3),\mu_h) \qquad \hat{E}_{rot}= \left(\frac{\hat{L}_x^2}{2I_1} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_2} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_3} \right)$

donde

\mu_h

es la medida de Haar invariante de SO(3),

\hat{L}_i

son los operadores del momento angular en la representación adecuada y los escalares

I_i

son los momentos de inercia principales.

Energía cinética y temperatura[editar]

Artículos principales: Teoría cinética y Agitación térmica.

A nivel microscópico la energía cinética promedio de las moléculas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell-Boltzmann para un gas ideal clásico la relación entre la temperatura absoluta(T) de un gas y su energía cinética media es:

T =\frac{2}{3\kappa_B}\langle E_k \rangle = \frac{m}{3\kappa_B}\langle v^2 \rangle

donde

\kappa_B

es la constante de Boltzmann,

m\;

es la masa de cada una de las moléculas del gas.

LA FISICA EN LA VIDA COTIDIANA

miércoles, 13 de mayo de 2015

Trabajo mecánico

TRABAJO MECÁNICO

IMPORTANCIA DEL ÁNGULO EN EL TRABAJO

POTENCIA DEL TRABAJO

DEFINICIÓN DEPOTENCIA MECÁNICA

Energía cinética en diferentes sistemas de referencia[editar]

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Energía cinética de un sólido en rotación[editar]

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